Potęgi i pierwiastki

1. Zapisywanie iloczynu jako potęgi i obliczanie potęg

Potęgowanie to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby.

Jeśli mnożymy liczbę a przez siebie n razy, zapisujemy to:

aⁿ = a · a · a · … · a (n czynników)

Przykłady

• 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
• 5¹ = 5
• 7⁰ = 1 (każda liczba ≠ 0 do potęgi zerowej to 1)

Zapis iloczynu jako potęg

• 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴
• (-3) · (-3) = (-3)²

2. Potęga do potęgi, mnożenie i dzielenie potęg

Najważniejsze wzory

Mnożenie potęg o tej samej podstawie:

a^m · aⁿ = a^m+n

Dzielenie potęg o tej samej podstawie:

a^m : aⁿ = a^m−n

Potęga potęgi:

(a^m)ⁿ = a^m·n

Przykłady

• 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
• 5⁶ : 5² = 5⁴ = 625
• (3²)³ = 3⁶ = 729

3. Zapis liczb w notacji wykładniczej (naukowej)

Używamy jej do zapisu bardzo dużych lub bardzo małych liczb.

a · 10^k,

gdzie 1 ≤ a < 10 oraz k jest liczbą całkowitą.

Przykłady

• 1 200 000 = 1.2 · 10⁶
• 0.0045 = 4.5 · 10^-3
• 5 · 10³ = 5000

Ćwiczenie

Zapisz 0.00082 w notacji wykładniczej.

Rozwiązanie: 0.00082 = 8.2 · 10^-4

4. Pierwiastki 2. i 3. stopnia, działania na pierwiastkach

Pierwiastek drugiego stopnia

√a to liczba, która pomnożona przez siebie daje a.

• √25 = 5
• √81 = 9

Pierwiastek trzeciego stopnia

∛a to liczba, która pomnożona trzy razy przez siebie daje a.

• ∛8 = 2
• ∛27 = 3

Mnożenie pierwiastków

√a · √b = √(a·b)

Dzielenie pierwiastków

√a : √b = √(a/b)

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Jeśli pod pierwiastkiem znajduje się kwadrat liczby, można go wyjąć:

√(a² · b) = a√b

Przykłady

• √12 = √(4 · 2) = 2√2
• √45 = √(9 · 5) = 3√5
• √50 : √2 = √(50/2) = √25 = 5

Porównywanie pierwiastków

Aby porównać √a i √b wystarczy porównać liczby a i b.

• √7 < √10, bo 7 < 10

5. Zadania proste z rozwiązaniami

Zadanie 1

Oblicz: 2³ · 2⁵

Rozwiązanie: 2³⁺⁵ = 2⁸ = 256.

Zadanie 2

Zapisz 0.0036 w notacji wykładniczej.

Rozwiązanie: 3.6 · 10^-3

Zadanie 3

Uprość: √75.

Rozwiązanie:
√75 = √(25 · 3) = 5√3.

Zadanie 4

Porównaj: √5 i √3.

Rozwiązanie: √5 > √3, bo 5 > 3.