Liczby rzeczywiste – działania i przekształcenia

Poniżej znajdziesz przegląd podstawowych operacji na liczbach rzeczywistych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie. Uwzględniamy także pracę z liczbami w różnych postaciach: ułamki, pierwiastki itp.

---

1. Dodawanie i odejmowanie liczb rzeczywistych

1.1. Dodawanie

• Liczby o tych samych znakach → dodajemy moduły, znak pozostaje.
• Liczby o różnych znakach → odejmujemy moduły, znak większego modułu.

Przykłady:

• 3 + 5 = 8
• −4 + (−7) = −11
• 6 + (−10) = −4
• −3 + 8 = 5

1.2. Odejmowanie

Odejmowanie zamieniamy na dodawanie liczby przeciwnej:

a − b = a + (−b)

Przykłady:

• 7 − 12 = 7 + (−12) = −5
• −3 − (−5) = −3 + 5 = 2

---

2. Mnożenie i dzielenie

2.1. Mnożenie

Zasada znaku:

• (+) · (+) = (+)
• (+) · (−) = (−)
• (−) · (+) = (−)
• (−) · (−) = (+)

Przykłady:

• 3 · 4 = 12
• −2 · 6 = −12
• −5 · (−3) = 15

2.2. Dzielenie

Zasada znaku jest taka sama jak przy mnożeniu.

Przykłady:

• 12 : 3 = 4
• −15 : 5 = −3
• −16 : (−4) = 4

---

3. Potęgowanie

3.1. Podstawowe własności

• Dodatnia liczba podniesiona do dowolnej potęgi → wynik dodatni.
• Liczba ujemna:
  • potęga parzysta → wynik dodatni,
  • potęga nieparzysta → wynik ujemny.

Przykłady:

• 3⁴ = 81
• (−2)⁴ = 16
• (−2)³ = −8

3.2. Potęgi szczególne

• a¹ = a
• a⁰ = 1 (dla a ≠ 0)
• a⁻¹ = 1 / a
• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

3.3. Potęgi ułamkowe

• a^1/n = √a (pierwiastek n-tego stopnia z a)
• a^m/n = √a^m (pierwiastek n-tego stopnia z a^m)

Przykłady:

• 9^1/2 = √9 = 3
• 27^1/3 = 3
• 8^2/3 = √8² = √64 = 4

---

4. Pierwiastkowanie

4.1. Pierwiastek kwadratowy

√a to liczba dodatnia, której kwadrat daje a.

Przykłady:

• √16 = 4
• √2 – liczba niewymierna

4.2. Pierwiastek stopnia n-tego

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a zapisujemy jako √a z indeksem n (n przy znaku pierwiastka).

• Gdy n jest parzyste, pierwiastek istnieje tylko dla a ≥ 0.
• Gdy n jest nieparzyste, pierwiastek istnieje dla każdej liczby rzeczywistej.

Przykłady:

• √[3]{−8} → najczęściej zapisujemy jako √³−8 = −2
• √⁴16 = 2

4.3. Najważniejsze własności pierwiastków

• √(ab) = √a · √b (dla a, b ≥ 0)
• √(a / b) = √a / √b (dla b > 0)

Uwaga: nie wolno wyciągać pierwiastka z sumy:

Nieprawda: √(a + b) = √a + √b

---

5. Liczby w różnych postaciach

5.1. Ułamki zwykłe

Ułamek zwykły zapisujemy w postaci a / b, gdzie b ≠ 0.

Redukcja ułamków: dzielimy licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik.

Przykład:

18 / 24 = 3 / 4

5.2. Ułamki dziesiętne

• Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny: dzielenie licznika przez mianownik (np. 1 / 4 = 0,25).
• Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły: zapisujemy jako ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd. (np. 0,3 = 3 / 10, 0,25 = 25 / 100 = 1 / 4).

5.3. Liczby z pierwiastkami

Często zostawiamy je w postaci niewymiernej, np. √5, √2 itp.

Można wyciągać czynniki spod pierwiastka, jeśli są pełnymi kwadratami, sześcianami itd.

Przykład:

√75 = √(25 · 3) = 5√3

---

6. Połączenie operacji – przykłady

Przykład 1

3 − 2√3 + 5√3 = 3 + 3√3

Uprośćmy wyrażenie krok po kroku:$$3 – 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$$1️⃣ Zgrupuj wyrazy podobne. Wyrazy z pierwiastkiem √3 są wyrazami podobnymi:$$-2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$$2️⃣ Dodaj współczynniki$$(-2 + 5)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$3️⃣ Zapisz całe wyrażenie$$3 + 3\sqrt{3}$$

Przykład 2

(4 / 9) · (3 / 8) = (4 · 3) / (9 · 8) = 12 / 72 = 1 / 6

Przykład 3

2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128

Przykład 4

√50 − √2 = 5√2 − √2 = 4√2

1️⃣ Rozkład liczby pod pierwiastkiem. Rozkładamy 50 na iloczyn z pełnym kwadratem:$$50 = 25 \cdot 2$$Zatem:$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2}$$2️⃣ Rozdzielenie pierwiastka$$\sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25}\sqrt{2}$$$$= 5\sqrt{2}$$3️⃣ Podstawienie do wyrażenia$$\sqrt{50} – \sqrt{2} = 5\sqrt{2} – \sqrt{2}$$4️⃣ Redukcja wyrazów podobnych$$(5 – 1)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$