Wyrażenia algebraiczne to zapisy zawierające liczby, litery (zmienne) oraz działania matematyczne. Kluczową umiejętnością jest upraszczanie, przekształcanie oraz stosowanie wzorów skróconego mnożenia.
1. Podstawowe operacje na wyrażeniach
a) Dodawanie i odejmowanie wyrażeń
Możemy dodawać tylko wyrażenia podobne, czyli zawierające te same zmienne podniesione do tych samych potęg.
- 3x + 5x = 8x
- 7a − 2a = 5a
- 4x2 + 3x ≠ 7x (wyrażenia niepodobne)
b) Mnożenie jednomianów
Podczas mnożenia jednomianów mnożymy liczby oraz mnożymy zmienne, dodając ich wykładniki.
(3x2) · (−2x3) = −6x5
c) Mnożenie jednomianu przez wielomian (prawo rozdzielności)
a(b + c + d) = ab + ac + ad
Przykład: 2x(3x − 5) = 6x2 − 10x
d) Redukcja wyrazów podobnych
To zwykle ostatni krok po wszelkich przekształceniach.
Przykład: 5x + 3 − 2x + 7 = 3x + 10
2. Wzory skróconego mnożenia
a) Kwadrat sumy
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Przykład: (3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4
b) Kwadrat różnicy
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Przykład: (5y − 1)2 = 25y2 − 10y + 1
c) Różnica kwadratów
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Przykład: 9x2 − 16 = (3x − 4)(3x + 4)
d) Sześcian sumy
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
e) Sześcian różnicy
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
3. Przykłady upraszczania wyrażeń
Przykład 1
Uprość: (2x + 3)2 − (x − 1)(x + 1)
- Rozwijamy wzory:
- (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9
- (x − 1)(x + 1) = x2 − 1
- Odejmujemy: 4x2 + 12x + 9 − (x2 − 1) = 3x2 + 12x + 10
Przykład 2
Uprość: 5a(2a − 3) − (3a2 − 4a)
10a2 − 15a − 3a2 + 4a = 7a2 − 11a
Przykład 3
Sprowadź do postaci iloczynu: 4x2 − 25
To różnica kwadratów:
4x2 − 25 = (2x)2 − 52 = (2x − 5)(2x + 5)
4. Typowe błędy, których należy unikać
- Błąd: (a + b)2 = a2 + b2
Poprawnie: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 - Błąd: redukowanie różnych potęg, np. x2 + x = 2x
To wyrażenie jest niepoprawnie uproszczone. - Błąd: zły znak przy odejmowaniu nawiasu
Przykład poprawny: 5 − (3x − 2) = 5 − 3x + 2
5. Zadania do przećwiczenia
(Można ukryć odpowiedzi lub umieścić je niżej na stronie.)
Zadanie 1
Uprość: (3x − 2)2
Odpowiedź: 9x2 − 12x + 4
Zadanie 2
Oblicz: (2a + 5)(2a − 5)
Odpowiedź: 4a2 − 25
Zadanie 3
Sprowadź do najprostszej postaci: 7x + 3(2x − 5) − (x + 1)
Odpowiedź: 12x − 16
Zadanie 4
Rozłóż na czynniki: x2 + 6x + 9
Odpowiedź: (x + 3)2
