Algorytmy to dokładne sposoby rozwiązywania problemów krok po kroku. W matematyce i informatyce często używamy ich do działań na liczbach. W tym materiale omówione zostaną następujące zagadnienia:
- jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza,
- jak obliczyć największy wspólny dzielnik (NWD),
- jak obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW),
- jak wykorzystać NWD i NWW w działaniach na ułamkach zwykłych.
1. Sprawdzanie, czy liczba jest pierwsza
Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 oraz samą siebie. Przykładami liczb pierwszych są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Aby sprawdzić, czy liczba jest pierwsza, nie trzeba testować wszystkich dzielników aż do niej samej. Wystarczy sprawdzić liczby od 2 do pierwiastka z tej liczby. Jeżeli żadna z nich nie dzieli liczby bez reszty, to liczba jest pierwsza.
Przykład:
Sprawdźmy, czy 97 jest liczbą pierwszą.
Pierwiastek z 97 to około 9,8: √97 ≈ 9,8 . Sprawdzamy więc liczby 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.
Żadna nie dzieli liczby 97, więc liczba jest pierwsza.
Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza? Algorytm:
- Bierzemy kolejne dzielniki od 2 do √n.
- Jeśli znajdziemy dzielnik → liczba nie jest pierwsza.
- Jeśli nie znajdziemy → liczba jest pierwsza.
2. Największy wspólny dzielnik (NWD)
NWD dwóch liczb to największa liczba naturalna, która dzieli obie liczby bez reszty. Do obliczania NWD używa się często algorytmu Euklidesa. Istnieją dwa sposoby jego wykonania: odejmowaniem oraz dzieleniem z resztą.
Przykład:
NWD(12,18) = 6
2.1. Algorytm Euklidesa – wersja z odejmowaniem
Kroki algorytmu:
- Od większej liczby odejmujemy mniejszą.
- Większą liczbę zastępujemy wynikiem odejmowania.
- Powtarzamy czynność do momentu, aż obie liczby będą równe.
- Gdy liczby są równe, jest to NWD.
Obliczamy NWD(84, 33):
Algorytm Euklidesa w wersji z dzieleniem dla liczb 84 i 33, krok po kroku.
| liczba a | liczba b | czy a > b? | Jakie działanie należy wykonać? | Kolejny krok |
|---|---|---|---|---|
| 84 | 33 | tak | 84 − 33 = 51 | a = 51, b = 33 |
| 51 | 33 | tak | 51 − 33 = 18 | a = 18, b = 33 |
| 18 | 33 | nie | 33 − 18 = 15 | a = 18, b = 15 |
| 18 | 15 | tak | 18 − 15 = 3 | a = 3, b = 15 |
| 3 | 15 | nie | 15 − 3 = 12 | a = 3, b = 12 |
| 3 | 12 | nie | 12 − 3 = 9 | a = 3, b = 9 |
| 3 | 9 | nie | 9 − 3 = 6 | a = 3, b = 6 |
| 3 | 6 | nie | 6 − 3 = 3 | a = 3, b = 3 |
Wynik: liczby zrównały się na 3 → NWD(84, 33) = 3
Algorytm Euklidesa w wersji z odejmowaniem dla liczb 54 i 9, krok po kroku.
| liczba a | liczba b | czy a > b? | Jakie działanie należy wykonać? | Kolejny krok |
|---|---|---|---|---|
| 54 | 9 | tak | 54 − 9 = 45 | zastępujemy większą liczbę różnicą → a = 45, b = 9 |
| 45 | 9 | tak | 45 − 9 = 36 | a = 36, b = 9 |
| 36 | 9 | tak | 36 − 9 = 27 | a = 27, b = 9 |
| 27 | 9 | tak | 27 − 9 = 18 | a = 18, b = 9 |
| 18 | 9 | tak | 18 − 9 = 9 | a = 9, b = 9 |
Wynik: gdy liczby się zrównały (a = b = 9), oznacza to, że
NWD(54, 9) = 9 ✅
Przykład obliczenia NWD(54, 30):
54 – 30 = 24
30 – 24 = 6
24 – 6 = 18
18 – 6 = 12
12 – 6 = 6
6 – 6 = 0
W momencie, gdy obie liczby zrównały się na 6, otrzymujemy wynik.
NWD(54, 30) = 6
2.2. Algorytm Euklidesa – wersja z dzieleniem
Kroki algorytmu:
- Dzielimy większą liczbę przez mniejszą.
- Mniejszą liczbę zastępujemy resztą z dzielenia.
- Powtarzamy aż do momentu, gdy reszta będzie równa zero.
- Ostatnia niezerowa liczba jest NWD.
Obliczamy NWD(84, 33)
Algorytm Euklidesa w wersji z dzieleniem dla liczb 84 i 33, krok po kroku.
| liczba a | liczba b | Jakie działanie należy wykonać? | Czy reszta = 0? | Kolejny krok |
|---|---|---|---|---|
| 84 | 33 | 84 ÷ 33 → wynik 2, reszta 18 | nie | a = 33, b = 18 |
| 33 | 18 | 33 ÷ 18 → wynik 1, reszta 15 | nie | a = 18, b = 15 |
| 18 | 15 | 18 ÷ 15 → wynik 1, reszta 3 | nie | a = 15, b = 3 |
| 15 | 3 | 15 ÷ 3 → wynik 5, reszta 0 | tak | koniec; NWD = 3 |
Wynik: ostatnia niezerowa liczba to 3 → NWD(84, 33) = 3
Przykład obliczenia NWD(105, 60):
105 dzielimy przez 60 → wynik 1, reszta 45
60 dzielimy przez 45 → wynik 1, reszta 15
45 dzielimy przez 15 → wynik 3, reszta 0
Gdy reszta jest równa zero, ostatnia niezerowa liczba to wynik.
NWD(105, 60) = 15
3. Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)
NWW dwóch liczb to najmniejsza dodatnia liczba, która jest wielokrotnością obu liczb.
Przykład:
Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24…
Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 12, więc NWW(4, 6) = 12.
Aby obliczyć NWW w wygodny sposób, można skorzystać ze wzoru:
NWW(a, b) = (a · b) / NWD(a, b)
Przykład 1
Oblicz NWW(18, 24)
Najpierw znajdujemy NWD(18, 24):
24 ÷ 18 = 1 reszta 6
18 ÷ 6 = 3 reszta 0
NWD = 6
Następnie podstawiamy do wzoru:
NWW = (18 · 24) / 6 = 432 / 6 = 72
Odpowiedź: NWW(18, 24) = 72
Przykład 2
Oblicz NWW(14, 30)
Najpierw NWD(14, 30):
30 ÷ 14 = 2 reszta 2
14 ÷ 2 = 7 reszta 0
NWD = 2
Następnie obliczamy NWW:
NWW = (14 · 30) / 2 = 420 / 2 = 210
Odpowiedź: NWW(14, 30) = 210
4. Zastosowanie NWD i NWW w ułamkach zwykłych
Skracanie ułamków
Aby skrócić ułamek zwykły, należy podzielić licznik i mianownik przez NWD tych liczb.
Obliczamy NWD licznika i mianownika.
Dzielimy obie liczby przez NWD.
Przykład skracania ułamka:
12/18
- Najpierw obliczamy NWD(12, 18)
18 − 12 = 6
12 − 6 = 6
6 − 6 = 0
NWD = 6
- Dzielimy licznik i mianownik przez NWD:
12 ÷ 6 = 2
18 ÷ 6 = 3
- Otrzymujemy ułamek po skróceniu:
12/18 = 2/3
To najprostsza postać tego ułamka.
Przykład skracania ułamka:
45/125
NWD(45, 125) = 5
45 : 5 = 9
125 : 5 = 25
Po skróceniu otrzymujemy 9/25.
Dodawanie i odejmowanie ułamków
Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika. Najłatwiej użyć do tego NWW mianowników.
Przykład:
5/8 + 3/5
NWW(8, 5) = 40
5/8 to 25/40
3/5 to 24/40
25/40 + 24/40 = 49/40
Mnożenie ułamków
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
Przykład:
7/8 · 3/5 = 21/40
Dzielenie ułamków
Aby podzielić ułamki, pierwszy ułamek mnożymy przez odwrotność drugiego.
Przykład 1:
Podziel ułamki
3/4 : 2/5
Krok 1. Zapisujemy działanie
3/4 : 2/5
Krok 2. Zamieniamy dzielenie na mnożenie
Aby podzielić ułamki, pierwszy ułamek mnożymy przez odwrotność (czyli zamieniamy licznik z mianownikiem) drugiego ułamka.
Odwrotność 2/5 to 5/2, więc:
3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2
Krok 3. Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik
(3 · 5) / (4 · 2) = 15 / 8
Krok 4. Odpowiedź
Wynik dzielenia to:
3/4 : 2/5 = 15/8
Można dodatkowo zamienić na ułamek mieszany:
15/8 = 1 i 7/8
Przykład 2:
7/8 : 3/5 = 7/8 · 5/3 = 35/24
Ćwiczenia
- Sprawdź, które z liczb są pierwsze:
23, 25, 101, 133 - Oblicz NWD metodą odejmowania:
NWD(20, 12), NWD(39, 13) - Oblicz NWD metodą dzielenia:
NWD(84, 30), NWD(98, 42) - Oblicz NWW korzystając ze wzoru:
NWW(12, 18), NWW(15, 20), NWW(14, 21) - Skróć ułamki:
84/126, 33/99, 75/90 - Wykonaj działania:
5/9 + 3/4
7/12 – 1/8
4/11 · 8/9
5/6 : 2/3
